นีลส์ เฮนริก อาเบล

Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), Norway
Died: 6 April 1829 in Froland, Norway

      นีลส์ เฮนริก อาเบล (1802-1829)นีลส์ เฮนริก อาเบล (Neils Henrik Abel) เกิดเมื่อวันที่ 5 สิงหาคม ค.ศ. 1802 เสียชีวิต 6 เมษายน ค.ศ. 1829 เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานโดดเด่นที่สุดในคริสตศตวรรษที่ 19 นอกจากนั้นบางท่านยกย่องอาเบลว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดในประวัติศาสตร์ของสแกนดิเนเวีย (Simmon, 1991) อย่างไรก็ตามอาเบลเสียชีวิตด้วยอายุเพียง 26 ปีและเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตอาภัพที่สุดในประวัติศาสตร์ของวงการคณิตศาสตร์เคียบคู่ไปกับ กาลัวส์ (เสียชีวิตเมื่ออายุ 21 ปี), รามานุจัน (เสียชีวิตเมื่ออายุ 33 ปี) และ โซฟี่ แชร์แมง (เสียชีวิตโดยที่ไม่มีโอกาสได้ทราบว่าตนเองได้รับปริญญากิติมศักดิ์)

    อาเบลและเพื่อนนักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยคือ เกาส์และโคชี่ มีส่วนร่วมเป็นอย่างสูงในการพัฒนาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ซึ่งแตกต่างจากคณิตศาสตร์สมัยเก่าตรงที่มีการพิสูจน์อย่างเคร่งครัดในทุกทฤษฎีบทชีวประวัติโดยย่อ

     ครอบครัวอาเบลเป็นลูกหนึ่งในหกคนของครอบครัวที่ยากจนในนอร์เวย์ พรสวรรค์ของอาเบลถูกสังเกตเห็นเป็นครั้งแรกเมื่ออายุ 16 ปีโดยอาจารย์ของเขาเมื่ออาเบลสามารถแสดงคำตอบของปัญหาของเบิร์นท์ ฮอล์มโบได้อย่างยอดเยี่ยม ซึ่งช่วงนั้นกล่าวกันว่าอาเบลได้ศึกษางานของนิวตัน ออยเลอร์ และลากรองช์จนเข้าใจละเอียดลึกซึ้ง

     อย่างไรก็ตามบิดาของอาเบลซึ่งเป็นแกนหลักของครอบครัวได้เสียชีวิตลงเมื่อ อาเบลมีอายุได้เพียง 18 ปี ในช่วงนี้ครอบครัวของอาเบลได้เงินเลี้ยงดูจุนเจือ จากเพื่อนบ้านและญาติ โดยเฉพาะสำหรับอาเบลนั้นมีศาสตราจารย์หลายคนช่วยสนับสนุนในด้านต่างๆ ทำให้อาเบลสามารถเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยออสโลได้เมื่อเขาอายุ 19 ปี

ผลงาน

       งานของอาเบลเกิดขึ้นเมื่อเขามีอายุได้ 21 ปี ซึ่งในนี้รวมไปถึงปัญหาคลาสสิกอย่างปัญหาเทาโทโครเนอ (tautochrone) ซึ่งอาเบลได้เสนอคำตอบจากการสร้างสมการปริพันธ์ (integral equation) ซึ่งเป็นครั้งแรกที่สามารถหาคำตอบในสมการประเภทนี้ได้ และจากผลงานนี้เองที่ส่งผลให้มีการพัฒนาวงการคณิตศาสตร์ในเรื่องสมการปริพันธ์อย่างคึกคักในช่วงปลายของคริสตศตวรรษที่ 19 และช่วงต้นของคริสตศตวรรษที่ 20

คำตอบในรูปแบบรากของสมการพหุนามอันดับ 5   แต่สำหรับหนึ่งในผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของอาเบลเกิดในปีค.ศ. 1824 เมื่อเขาสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีคำตอบในรูปแบบราก(radical forms)ของสมการกำลัง 5 หรือสมการพหุนามอันดับ 5 (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0) เหมือนกับอันดับที่ต่ำกว่าคืออันดับ 2 (พบคำตอบในสมัยกรีก) อันดับ3 และอันดับ4 (พบคำตอบโดยจิโลราโม คาร์ดาโนและลูกศิษย์หลังจากสมัยกรีกประมาณ 2000 ปี) ซึ่งถือได้ว่าอาเบลสามารถแก้ปัญหาทางพีชคณิตที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่างนิวตัน ออยเลอร์ ลากรองช์ และเกาส์รวมถึงท่านอื่นๆ ต่างถกเถียงและพยายามหาคำตอบมา 300 ปีตั้งแต่สมัยของคาร์ดาโนได้สำเร็จ (สำหรับรายละเอียดดู ทฤษฎีบทของอาเบล-รุฟฟินี่)

      อาเบลได้รับทุนให้ไปศึกษาและทำวิจัยคณิตศาสตร์ที่แถบยุโรปกลาง โดยในปีแรกอาเบลใช้เวลาเกือบทั้งหมดที่เบอร์ลิน ที่นั่นอาเบลได้มีโอกาสรู้จักกับ Crelle ซึ่งขณะนั้นเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น โดยในเวลาถัดมา Crelle เป็นเพื่อนที่ดีสุดจวบจนสิ้นชีวิตของอาเบล อาเบลเป็นแรงบันดาลใจให้ Crelle ริเริ่มวารสารคณิตศาสตร์ "Journal f?r die Reine und Angewandte Mathematik " (ดู Crelle's Journal) ในราวปี ค.ศ. 1826 ซึ่งเป็นวารสารฉบับแรกที่ไม่ใช่ของมหาวิทยาลับลัยและอุทิศเนื้อหาทั้งหมดให้คณิตศาสตร์ล้วนๆ (Simmons, 1991) โดยใน 3 ฉบับแรกนั้นมีบทความของอาเบลทั้งหมด 22 ชิ้น รวมไปถึงบทพิสูจน์เรื่องสมการกำลัง 5 ที่อาเบลได้ตกแต่งให้เข้าใจง่ายขึ้นอีกด้วย นอกจากนั้นยังมีผลงานที่โดดเด่นอื่นๆ ในวารสาร เช่น

     เรื่องอนุกรมทวินามซึ่งอาเบลได้ให้บทพิสูจน์เรื่องความถูกต้องในการขยายจากฟังก์ชันในรูป (a + b)n ไปเป็นอนุกรมทวินาม โดยพิสูจน์ในรูปแบบคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (พิสูจน์แบบเคร่งครัด) และค้นพบรูปแบบทั่วไปของการลู่เข้า (Abel's Test) ซึ่งถือเป็นงานคลาสสิกชิ้นหนึ่งของอาเบล
เรื่องฟังก์ชันเชิงวงรี(elliptic function) และ hyperelliptic function และกลุ่มของฟังก์ชั่นชนิดใหม่ที่ต่อมาเรียกว่า ฟังก์ชันอาบีเลียน (Abelian function) ซึ่งเป็นหัวข้อที่มีการทำวิจัยกันอย่างคึกคักในเวลาต่อมา
      ความอาภัพของอาเบล   อาเบลได้ส่งผลงานเรื่องสมการพหุนามไปให้เกาส์ที่เกิตติงเกน ด้วยความหวังว่ามันจะแทนหนังสือเดินทางไปสู่เกิตติงเกน อย่างไรก็ตามเกาส์ไม่ได้เปิดจดหมายของอาเบลดูเลย จดหมายที่ยังไม่ได้แกะฉบับนี้ถูกพบในบ้านของเกาส์ในอีก 30 ปีถัดมา อาเบลรู้สึกว่าตนโดนดูแคลนจึงเดินทางต่อไปยังปารีสโดยไม่แวะพบเกาส์ และนี่คงเป็นโชคร้ายของวงการคณิตศาสตร์ที่ทั้งสองคนไม่มีโอกาสร่วมงานกัน

       ในปี ค.ศ. 1826 อาเบลได้เดินทางไปยังปารีสเป็นเวลา 10 เดือน ที่นั่นอาเบลได้พบกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของฝรั่งเศส อาทิเช่น ออกัสติน หลุยส์ โคชี่ เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ และ ปีเตอร์ กุสตาฟ ดิริชเลต์ แม้ว่าอาเบลจะมีผลงานมากมายในวารสารของ Creller ก็ตาม แต่เนื่องจากเหล่านักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสยังไม่รู้จักวารสารฉบับใหม่นี้นัก พวกเขาจึงไม่สนใจอาเบลมากนัก นอกจากนี้ยังเป็นเพราะว่าอาเบลมีนิสัยขี้อาย ไม่ค่อยชอบพูดคุยผลงานของตนให้ผู้อื่นฟังอีกด้วย
       หลังจากเขาเดินทางถึงประเทศฝรั่งเศสไม่นาน เขาก็ทำผลงานชื่อ Memoire sur une Propriete Tenerale d'une Classe Tres Etendue des Fonctions Transcendantes ได้สำเร็จ โดยอาเบลภูมิใจงานนี้มากโดยถือว่าเป็นผลงานชิ้นเอก (masterpiece) ในผลงานนี้มีทฤษฎีบทของอาเบลซึ่งเป็นแก่นฐานของ Abelian integrals และ อาบีเลียนฟังก์ชั่น ปีเตอร์ กุสตาฟ ยาโคบียกย่องผลงานชิ้นนี้ว่าเป็นการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแคลคูลัสปริพันธ์ (integral calculus) ในคริสตศตวรรษที่ 19 อาเบลส่งผลงานชิ้นนี้ไปที่ Frenc h Academy โดยหวังว่าจะได้รับการยอมรับจากเหล่านักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส แต่แล้วทุกสิ่งทุกอย่างก็เงียบซึ่งทำให้อาเบลต้องตัดสินใจกลับเบอร์ลิน

        จริงๆ แล้วเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในตอนนั้นคือ โคชี่และเลอจองด์ถูกมอบหมายให้เป็นผู้ตรวจสอบผลงานของอาเบล แต่ทว่าโคชี่นำมันกลับไปบ้านและด้วยความที่ขณะนั้นโคชี่กำลังทำงานของเขาอยู่อย่างขมักเขม้น (formalizing/rigourising แคลคูลัส) ทำให้โคชี่วางงานของอาเบลไว้อย่างไม่สนใจและลืมเรื่องนี้ไปในท้ายที่สุด งานชิ้นนี้ของอาเบลถูกตีพิมพ์เมื่อปีค.ศ. 1841 หลังจากที่เขาเสียชีวิตไปแล้วถึง 15 ปี

          หลังจากนั้นไม่นาน อาเบลก็ต้องเดินทางกลับบ้านพร้อมด้วยหนี้สิน โดยอาเบลหวังเป็นอย่างยิ่งว่าจะมีตำแหน่งอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยในบ้านเกิด แต่ก็เป็นอีกครั้งที่เขาต้องผิดหวัง เขาต้องทนทำงานเป็นครูสอนพิเศษ โดยได้รับเชิญไปสอนในมหาวิทยาลัยเป็นบางครั้งเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1829 อาเบลเริ่มป่วยหนักด้วยวัณโรค (ใน (Simmons, 1991) บอกว่าเป็นปอดบวม) และอาการก็กำเริบหนักมากในเดือนเมษายนปีเดียวกัน ในที่สุดอาเบลก็เสียชีวิตด้วยวัยเพียง 26 ปี โดยในช่วงเวลาเดียวกันนั้นความพยายามของ Crelle ประสบผลสำเร็จโดยเขาสามารถหาตำแหน่งอาจารย์คณิตศาสตร์ให้อาเบลได้ที่เบอร์ลิน แต่จดหมายของ Crelle ก็มาถึงช้าไป 2 วัน อาเบลได้จากไปเสียแล้ว ...